154. Пусть центр О окружности радиусом 17, описанной около треугольника АВС, лежит внутри треугольника. Найдите площадь треугольника АОВ, если АВ = 16.

Так как центр описанной окружности лежит внутри треугольника, треугольник $$AOB$$ - равнобедренный, $$AO = BO = R = 17$$. Площадь треугольника $$AOB$$ можно найти, зная основание $$AB = 16$$ и боковые стороны $$AO = BO = 17$$. Сначала найдем высоту $$h$$, опущенную из вершины $$O$$ на сторону $$AB$$. Так как треугольник равнобедренный, высота является и медианой, поэтому она делит $$AB$$ пополам. Обозначим середину $$AB$$ как $$M$$. Тогда $$AM = MB = \frac{1}{2}AB = 8$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMO$$. По теореме Пифагора: $$AM^2 + OM^2 = AO^2$$ $$8^2 + h^2 = 17^2$$ $$64 + h^2 = 289$$ $$h^2 = 289 - 64$$ $$h^2 = 225$$ $$h = \sqrt{225} = 15$$ Теперь найдем площадь треугольника $$AOB$$: $$S_{AOB} = \frac{1}{2} cdot AB cdot h = \frac{1}{2} cdot 16 cdot 15 = 8 cdot 15 = 120$$ Ответ: 120