Работа № 2: «Четырехугольники». 5. Докажите, что если диагонали ромба равны, то он является квадратом.

Пусть ABCD — ромб, диагонали AC и BD равны и пересекаются в точке O.

1. В ромбе диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(AO=AC/2\) и \(BO=BD/2\).
2. Так как \(AC=BD\), то \(AO=BO\).
3. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольник AOB прямоугольный. Его катеты равны, значит, он равнобедренный прямоугольный, и \(\angle AOB=90^\circ\), \(\angle OAB=\angle ABO=45^\circ\).
4. Диагонали ромба делят углы пополам. Следовательно, угол A равен \(2\cdot45^\circ=90^\circ\). Все углы ромба прямые.

Ромб, у которого все углы прямые, является квадратом.