Радиус окружности, описанной около квадрата, равен \( 109\sqrt{2} \). Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус описанной окружности, а \( r \) — радиус вписанной окружности.

Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата.

Диагональ квадрата \( d = 2R = 2 \cdot 109\sqrt{2} = 218\sqrt{2} \).

Пусть сторона квадрата равна \( a \). Тогда диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \).

Приравниваем два выражения для диагонали:

\[ a\sqrt{2} = 218\sqrt{2} \]

Отсюда находим сторону квадрата:

\[ a = 218 \]

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата:

\[ r = \frac{a}{2} = \frac{218}{2} = 109 \]

Ответ: 109.