31. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $$8\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности, а $$r$$ - радиус вписанной окружности. Если $$a$$ - сторона квадрата, то $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$ и $$r = \frac{a}{2}$$. Дано $$R = 8\sqrt{2}$$. Тогда $$\frac{a\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$$. Отсюда $$a = \frac{2 \cdot 8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 16$$. Следовательно, $$r = \frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8$$. Ответ: 8