4. Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 5 см, а сторона многоугольника - 10 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.

1) Связь между радиусом вписанной окружности \(r\), радиусом описанной окружности \(R\) и стороной правильного n-угольника \(a\) выражается формулами: \(r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}\) и \(R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}\). Нам дано \(r = 5\) и \(a = 10\). Подставляем в первую формулу: \(5 = \frac{10}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}\), откуда \(\tan(\frac{\pi}{n}) = 1\). Значит, \(\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{4}\), следовательно, \(n = 4\). Теперь найдем радиус описанной окружности: \(R = \frac{10}{2 \sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\) см. 2) Количество сторон многоугольника мы уже нашли: \(n = 4\). Ответ: 1) \(5\sqrt{2}\) см; 2) 4