6. Углы квадрата со стороной 8 см срезали так, что получили правильный восьмиугольник. Найдите сторону образовавшегося восьмиугольника.

Пусть сторона квадрата равна a = 8 см. При срезании углов образуются равнобедренные прямоугольные треугольники. Пусть катет этого треугольника равен x. Тогда сторона восьмиугольника также равна x. Сторона квадрата состоит из стороны восьмиугольника и двух катетов прямоугольных треугольников: a = x + x\sqrt{2}\), значит, \(8 = x + x\sqrt{2}\). Отсюда \(x(1 + \sqrt{2}) = 8\), и \(x = \frac{8}{1 + \sqrt{2}} = \frac{8( \sqrt{2} - 1)}{( \sqrt{2} + 1)( \sqrt{2} - 1)} = \frac{8( \sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 8(\sqrt{2} - 1)\) см. Ответ: \(8(\sqrt{2} - 1)\) см