4. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен $$\sqrt{27}$$ см. Найдите площадь шестиугольника.

Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник связан с длиной стороны $$a$$ соотношением: $$r = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$. Площадь правильного шестиугольника равна $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$$. Дано $$r = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$. Тогда: $$\frac{\sqrt{3}}{2}a = 3\sqrt{3}$$ $$a = 6$$ Теперь найдем площадь: $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} * 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} * 36 = 3\sqrt{3} * 18 = 54\sqrt{3}$$ Ответ: Площадь шестиугольника равна $$54\sqrt{3}$$ см$$^2$$.