5. В правильный треугольник вписана окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Разность периметра треугольника и периметра шестиугольника равна $$12(\sqrt{3}-1)$$ см. Найдите площадь круга, ограниченного данной окружностью.

Пусть $$P_T$$ - периметр треугольника, $$P_H$$ - периметр шестиугольника. Дано $$P_T - P_H = 12(\sqrt{3}-1)$$. Пусть сторона шестиугольника равна $$a$$, тогда радиус вписанной в треугольник окружности равен радиусу описанной около шестиугольника окружности, то есть $$R_H = a$$. Также известно, что радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен $$\frac{1}{2\sqrt{3}} A$$, где A - сторона треугольника. Сторона правильного треугольника, описанного около окружности радиуса a равна $$2\sqrt{3}a$$, тогда $$P_T = 3 * 2\sqrt{3}a = 6\sqrt{3}a$$. Периметр шестиугольника $$P_H = 6a$$. Тогда: $$6\sqrt{3}a - 6a = 12(\sqrt{3}-1)$$ $$6a(\sqrt{3}-1) = 12(\sqrt{3}-1)$$ $$6a = 12$$ $$a = 2$$ Радиус окружности, вписанной в треугольник (и описанной около шестиугольника) равен 2. Площадь круга: $$S = \pi r^2 = \pi * 2^2 = 4\pi$$. Ответ: Площадь круга равна $$4\pi$$ см$$^2$$.