2. Радиус основания конуса равна 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите: а) площадь боковой поверхности конуса; б) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°.

а) Площадь боковой поверхности конуса:
Радиус основания $$r = 6$$ см.
Угол наклона образующей к плоскости основания $$\alpha = 30^\circ$$.

Высота конуса $$h = r \cdot tg(\alpha) = 6 \cdot tg(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$ см.

Образующая конуса $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ см.

Площадь боковой поверхности конуса $$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\pi$$ см$$^2$$.

Ответ: $$S_{бок} = 24\sqrt{3}\pi$$ см$$^2$$

б) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°:

Площадь сечения $$S = \frac{1}{2} l^2 sin(\beta)$$, где $$\beta$$ - угол между образующими, $$l$$ - образующая.

$$S = \frac{1}{2} (4\sqrt{3})^2 sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$$ см$$^2$$.

Ответ: $$S = 12\sqrt{3}$$ см$$^2$$