3. В шаре по одну сторону от центра проведены два параллельных сечения, площади которых $45\pi$ дм$^2$ и $4\pi$ дм$^2$. Найти площадь сферы, если расстояние между плоскостями 9 дм.

Пусть $R$ - радиус сферы, $r_1$ и $r_2$ - радиусы сечений, $d$ - расстояние между плоскостями (9 дм). Площади сечений: $S_1 = \pi r_1^2 = 45\pi$ и $S_2 = \pi r_2^2 = 4\pi$. Отсюда $r_1^2 = 45$ и $r_2^2 = 4$, значит, $r_1 = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ и $r_2 = 2$. Пусть $h_1$ и $h_2$ - расстояния от центра шара до сечений. Тогда $h_1^2 + r_1^2 = R^2$ и $h_2^2 + r_2^2 = R^2$. $h_1^2 + 45 = R^2$ и $h_2^2 + 4 = R^2$. Так как сечения по одну сторону от центра, то $h_1 - h_2 = 9$ или $h_2 - h_1 = 9$. Пусть $h_2 = h_1 + 9$. Подставим в уравнение: $(h_1 + 9)^2 + 4 = h_1^2 + 45$. $h_1^2 + 18h_1 + 81 + 4 = h_1^2 + 45$ $18h_1 = 45 - 85 = -40$ $h_1 = -\frac{20}{9}$ Так как $h_1$ не может быть отрицательным, то $h_1 = h_2 + 9$, значит, $h_2 = h_1 - 9$. $h_1^2 + 45 = (h_1 - 9)^2 + 4$ $h_1^2 + 45 = h_1^2 - 18h_1 + 81 + 4$ $18h_1 = 85 - 45 = 40$ $h_1 = \frac{20}{9}$ $R^2 = h_1^2 + 45 = (\frac{20}{9})^2 + 45 = \frac{400}{81} + \frac{45 \cdot 81}{81} = \frac{400 + 3645}{81} = \frac{4045}{81}$ Площадь сферы: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \frac{4045}{81} = \frac{16180\pi}{81}$ Ответ: $S = \frac{16180\pi}{81}$ дм$^2$