3. В шаре по одну сторону от центра проведены два параллельных сечения, площади которых $$45\pi$$ дм$$^2$$ и $$4\pi$$ дм$$^2$$. Найти площадь сферы, если расстояние между плоскостями 9 дм.

Пусть $$R$$ - радиус сферы, $$r_1$$ и $$r_2$$ - радиусы сечений, $$d$$ - расстояние между плоскостями (9 дм). Площади сечений: $$S_1 = \pi r_1^2 = 45\pi$$ и $$S_2 = \pi r_2^2 = 4\pi$$. Отсюда $$r_1^2 = 45$$ и $$r_2^2 = 4$$, значит, $$r_1 = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$ и $$r_2 = 2$$. Пусть $$h_1$$ и $$h_2$$ - расстояния от центра шара до сечений. Тогда $$h_1^2 + r_1^2 = R^2$$ и $$h_2^2 + r_2^2 = R^2$$. $$h_1^2 + 45 = R^2$$ и $$h_2^2 + 4 = R^2$$. Так как сечения по одну сторону от центра, то $$h_1 - h_2 = 9$$ или $$h_2 - h_1 = 9$$. Пусть $$h_2 = h_1 + 9$$. Подставим в уравнение: $$(h_1 + 9)^2 + 4 = h_1^2 + 45$$. $$h_1^2 + 18h_1 + 81 + 4 = h_1^2 + 45$$ $$18h_1 = 45 - 85 = -40$$ $$h_1 = -\frac{20}{9}$$ Так как $$h_1$$ не может быть отрицательным, то $$h_1 = h_2 + 9$$, значит, $$h_2 = h_1 - 9$$. $$h_1^2 + 45 = (h_1 - 9)^2 + 4$$ $$h_1^2 + 45 = h_1^2 - 18h_1 + 81 + 4$$ $$18h_1 = 85 - 45 = 40$$ $$h_1 = \frac{20}{9}$$ $$R^2 = h_1^2 + 45 = (\frac{20}{9})^2 + 45 = \frac{400}{81} + \frac{45 \cdot 81}{81} = \frac{400 + 3645}{81} = \frac{4045}{81}$$ Площадь сферы: $$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \frac{4045}{81} = \frac{16180\pi}{81}$$ Ответ: $$S = \frac{16180\pi}{81}$$ дм$$^2$$