8. Расстояние между городами А и В равно 120 км. Из города А в город В выехал автобус, а через 15 мин вслед за ним отправился автомобиль, скорость которого была на 12 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса, если известно, что он прибыл в город В на 5 мин позже автомобиля.

Пошаговое решение:

• Пусть скорость автобуса равна \(v\) км/ч, тогда скорость автомобиля равна \(v + 12\) км/ч.
• Время, которое автобус затратил на путь, равно \(\frac{120}{v}\) часов.
• Время, которое автомобиль затратил на путь, равно \(\frac{120}{v + 12}\) часов.
• Автомобиль выехал на 15 минут позже и прибыл на 5 минут раньше, то есть он был в пути на 20 минут меньше, чем автобус (\(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) часа).
• Составим уравнение: \(\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 12} = \frac{1}{3}\).
• Приведем к общему знаменателю: \(\frac{120(v + 12) - 120v}{v(v + 12)} = \frac{1}{3}\).
• \(\frac{1440}{v^2 + 12v} = \frac{1}{3}\).
• \(v^2 + 12v = 4320\).
• \(v^2 + 12v - 4320 = 0\).
• Решим квадратное уравнение: \(D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4320) = 144 + 17280 = 17424 = 132^2\).
• \(v_1 = \frac{-12 + 132}{2} = \frac{120}{2} = 60\).
• \(v_2 = \frac{-12 - 132}{2} = \frac{-144}{2} = -72\) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

Ответ: Скорость автобуса равна 60 км/ч