9. Сократите дробь \frac{16+2√39}{√13+√3}

Пошаговое решение:

• Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть \(\sqrt{13} - \sqrt{3}\).
• \(\frac{16 + 2\sqrt{39}}{\sqrt{13} + \sqrt{3}} = \frac{(16 + 2\sqrt{39})(\sqrt{13} - \sqrt{3})}{(\sqrt{13} + \sqrt{3})(\sqrt{13} - \sqrt{3})}\)
• Знаменатель упрощается: \((\sqrt{13} + \sqrt{3})(\sqrt{13} - \sqrt{3}) = 13 - 3 = 10\).
• Раскроем скобки в числителе: \(16\sqrt{13} - 16\sqrt{3} + 2\sqrt{39 \cdot 13} - 2\sqrt{39 \cdot 3} = 16\sqrt{13} - 16\sqrt{3} + 2\sqrt{3 \cdot 13 \cdot 13} - 2\sqrt{13 \cdot 3 \cdot 3} = 16\sqrt{13} - 16\sqrt{3} + 26\sqrt{3} - 6\sqrt{13} = 10\sqrt{13} + 10\sqrt{3} = 10(\sqrt{13} + \sqrt{3})\).
• Теперь сократим дробь: \(\frac{10(\sqrt{13} + \sqrt{3})}{10} = \sqrt{13} + \sqrt{3}\).

Ответ: \(\sqrt{13} + \sqrt{3}\)