4. Равнобедренная трапеция описана около окружности длиной \(4\pi \sqrt{6}\). Найдите длину меньшего из оснований, если длина боковой стороны 14.

Пусть a и b - основания равнобедренной трапеции, а c - боковая сторона. Так как трапеция описана около окружности, то сумма её противоположных сторон равна, то есть $$a + b = 2c$$. В нашем случае, $$c = 14$$, поэтому $$a + b = 2 \times 14 = 28$$. Длина окружности равна $$4\pi \sqrt{6}$$. Длина окружности связана с радиусом формулой $$C = 2\pi r$$, где r - радиус окружности. Значит, $$2\pi r = 4\pi \sqrt{6}$$, откуда $$r = 2\sqrt{6}$$. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть $$h = 2r = 4\sqrt{6}$$. Пусть $$x = \frac{a - b}{2}$$. Тогда $$h^2 + x^2 = c^2$$, то есть $$(4\sqrt{6})^2 + x^2 = 14^2$$. $$16 \times 6 + x^2 = 196$$. $$96 + x^2 = 196$$. $$x^2 = 100$$. $$x = 10$$. Так как $$x = \frac{a - b}{2}$$, то $$a - b = 2x = 20$$. Мы знаем, что $$a + b = 28$$. Сложим эти два уравнения: $$a - b + a + b = 20 + 28$$ $$2a = 48$$ $$a = 24$$ Теперь найдем b: $$b = 28 - a = 28 - 24 = 4$$. Меньшее основание равно 4. Ответ: 4