5. Равносторонние треугольники ABC и $$A_1B_1C_1$$ подобны. Стороны этих треугольников относятся как 3:2. Найди отношение периметров и площадей данных треугольников.

Пусть сторона треугольника ABC равна $$3x$$, а сторона треугольника $$A_1B_1C_1$$ равна $$2x$$.

Отношение периметров:

Периметр треугольника ABC: $$P_{ABC} = 3 \cdot 3x = 9x$$

Периметр треугольника $$A_1B_1C_1$$: $$P_{A_1B_1C_1} = 3 \cdot 2x = 6x$$

Отношение периметров: $$\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = \frac{9x}{6x} = \frac{3}{2}$$

Отношение площадей:

Площадь равностороннего треугольника выражается формулой $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$, где a - сторона треугольника.

Площадь треугольника ABC: $$S_{ABC} = \frac{(3x)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9x^2 \sqrt{3}}{4}$$

Площадь треугольника $$A_1B_1C_1$$: $$S_{A_1B_1C_1} = \frac{(2x)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4x^2 \sqrt{3}}{4} = x^2 \sqrt{3}$$

Отношение площадей: $$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{9x^2 \sqrt{3}}{4}}{\frac{4x^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{9x^2 \sqrt{3}}{4x^2 \sqrt{3}} = \frac{9}{4}$$