5. Равносторонние треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны. Стороны этих треугольников относятся как 3:2. Найди отношение периметров и площадей данных треугольников.

5. Равносторонние треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Стороны этих треугольников относятся как 3:2. Найди отношение периметров и площадей данных треугольников.

Пусть сторона треугольника ABC равна 3x, а сторона треугольника A₁B₁C₁ равна 2x.

Периметр треугольника ABC: $$P_{ABC} = 3 \cdot 3x = 9x$$

Периметр треугольника A₁B₁C₁: $$P_{A_1B_1C_1} = 3 \cdot 2x = 6x$$

Отношение периметров: $$\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = \frac{9x}{6x} = \frac{3}{2}$$

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$, где a - сторона треугольника.

Площадь треугольника ABC: $$S_{ABC} = \frac{(3x)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9x^2 \sqrt{3}}{4}$$

Площадь треугольника A₁B₁C₁: $$S_{A_1B_1C_1} = \frac{(2x)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4x^2 \sqrt{3}}{4} = x^2 \sqrt{3}$$

Отношение площадей: $$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{9x^2 \sqrt{3}}{4}}{x^2 \sqrt{3}} = \frac{9x^2 \sqrt{3}}{4x^2 \sqrt{3}} = \frac{9}{4}$$

Ответ: Отношение периметров = 3:2, Отношение площадей = 9:4