618. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) 2x² – 2x + ½; б) -9x² + 12x – 4; в) 16а² + 24a + 9; г) 0,25m² – 2m + 4.

Разложим на множители квадратный трёхчлен, то есть представим в виде произведения двух многочленов первой степени. Общий вид квадратного трёхчлена: $$ax^2 + bx + c$$. Разложение на множители (если это возможно) выглядит так: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$, где $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни квадратного трёхчлена. Корни можно найти, приравняв трёхчлен к нулю и решив квадратное уравнение.

1. а) $$2x^2 - 2x + \frac{1}{2} = 2(x^2 - x + \frac{1}{4})$$. Решим уравнение $$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$$. $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = 1 - 1 = 0$$. $$x = \frac{1}{2}$$. Следовательно, $$2(x^2 - x + \frac{1}{4}) = 2(x - \frac{1}{2})^2 = 2(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2})$$.
   Ответ: $$2(x - \frac{1}{2})^2$$.
2. б) $$-9x^2 + 12x - 4 = -(9x^2 - 12x + 4)$$. Решим уравнение $$9x^2 - 12x + 4 = 0$$. $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$$. $$x = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$. Следовательно, $$-(9x^2 - 12x + 4) = -9(x - \frac{2}{3})^2$$.
   Ответ: $$-9(x - \frac{2}{3})^2$$.
3. в) $$16a^2 + 24a + 9$$. Решим уравнение $$16a^2 + 24a + 9 = 0$$. $$D = 24^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 576 - 576 = 0$$. $$a = \frac{-24}{32} = -\frac{3}{4}$$. Следовательно, $$16a^2 + 24a + 9 = 16(a + \frac{3}{4})^2 = (4a + 3)^2$$.
   Ответ: $$(4a + 3)^2$$.
4. г) $$0,25m^2 - 2m + 4 = \frac{1}{4}m^2 - 2m + 4$$. Решим уравнение $$\frac{1}{4}m^2 - 2m + 4 = 0$$. $$D = (-2)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = 4 - 4 = 0$$. $$m = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$$. Следовательно, $$\frac{1}{4}m^2 - 2m + 4 = \frac{1}{4}(m - 4)^2$$.
   Ответ: $$\frac{1}{4}(m - 4)^2$$.