617. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) 3x² – 24x + 21; б) 5z² + 10z – 15; в) ⅙x² + ½x + ⅓; г) х² – 12x + 20; д) -у² + 16у – 15; е) -t² – 8t + 9; ж) 2х2 – 5x + 3; з) 5у² + 2y – 3; и) -2п² + 5п + 7.

Разложим на множители квадратный трёхчлен, то есть представим в виде произведения двух многочленов первой степени. Общий вид квадратного трёхчлена: $$ax^2 + bx + c$$. Разложение на множители (если это возможно) выглядит так: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$, где $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни квадратного трёхчлена. Корни можно найти, приравняв трёхчлен к нулю и решив квадратное уравнение.

1. а) $$3x^2 - 24x + 21 = 3(x^2 - 8x + 7)$$. Решим уравнение $$x^2 - 8x + 7 = 0$$. $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 = 6^2$$. $$x_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7$$, $$x_2 = \frac{8 - 6}{2} = 1$$. $$3(x^2 - 8x + 7) = 3(x - 7)(x - 1)$$.
   Ответ: $$3(x - 7)(x - 1)$$.
2. б) $$5z^2 + 10z - 15 = 5(z^2 + 2z - 3)$$. Решим уравнение $$z^2 + 2z - 3 = 0$$. $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$$. $$z_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$, $$z_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$. $$5(z^2 + 2z - 3) = 5(z - 1)(z + 3)$$.
   Ответ: $$5(z - 1)(z + 3)$$.
3. в) $$\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}(x^2 + 3x + 2)$$. Решим уравнение $$x^2 + 3x + 2 = 0$$. $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 = 1^2$$. $$x_1 = \frac{-3 + 1}{2} = -1$$, $$x_2 = \frac{-3 - 1}{2} = -2$$. $$\frac{1}{6}(x^2 + 3x + 2) = \frac{1}{6}(x + 1)(x + 2)$$.
   Ответ: $$\frac{1}{6}(x + 1)(x + 2)$$.
4. г) $$x^2 - 12x + 20$$. Решим уравнение $$x^2 - 12x + 20 = 0$$. $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64 = 8^2$$. $$x_1 = \frac{12 + 8}{2} = 10$$, $$x_2 = \frac{12 - 8}{2} = 2$$. $$x^2 - 12x + 20 = (x - 10)(x - 2)$$.
   Ответ: $$(x - 10)(x - 2)$$.
5. д) $$-y^2 + 16y - 15 = -(y^2 - 16y + 15)$$. Решим уравнение $$y^2 - 16y + 15 = 0$$. $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196 = 14^2$$. $$y_1 = \frac{16 + 14}{2} = 15$$, $$y_2 = \frac{16 - 14}{2} = 1$$. $$-(y^2 - 16y + 15) = -(y - 15)(y - 1)$$.
   Ответ: $$-(y - 15)(y - 1)$$.
6. е) $$-t^2 - 8t + 9 = -(t^2 + 8t - 9)$$. Решим уравнение $$t^2 + 8t - 9 = 0$$. $$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$$. $$t_1 = \frac{-8 + 10}{2} = 1$$, $$t_2 = \frac{-8 - 10}{2} = -9$$. $$-(t^2 + 8t - 9) = -(t - 1)(t + 9)$$.
   Ответ: $$-(t - 1)(t + 9)$$.
7. ж) $$2x^2 - 5x + 3$$. Решим уравнение $$2x^2 - 5x + 3 = 0$$. $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 = 1^2$$. $$x_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}$$, $$x_2 = \frac{5 - 1}{4} = 1$$. $$2x^2 - 5x + 3 = 2(x - \frac{3}{2})(x - 1) = (2x - 3)(x - 1)$$.
   Ответ: $$(2x - 3)(x - 1)$$.
8. з) $$5y^2 + 2y - 3$$. Решим уравнение $$5y^2 + 2y - 3 = 0$$. $$D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$$. $$y_1 = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{3}{5}$$, $$y_2 = \frac{-2 - 8}{10} = -1$$. $$5y^2 + 2y - 3 = 5(y - \frac{3}{5})(y + 1) = (5y - 3)(y + 1)$$.
   Ответ: $$(5y - 3)(y + 1)$$.
9. и) $$-2n^2 + 5n + 7 = -(2n^2 - 5n - 7)$$. Решим уравнение $$2n^2 - 5n - 7 = 0$$. $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$$. $$n_1 = \frac{5 + 9}{4} = \frac{7}{2}$$, $$n_2 = \frac{5 - 9}{4} = -1$$. $$-(2n^2 - 5n - 7) = -2(n - \frac{7}{2})(n + 1) = -(2n - 7)(n + 1)$$.
   Ответ: $$-(2n - 7)(n + 1)$$.