617. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) 3x² - 24x + 21; 6) 5z² + 10z – 15; B) x²+x+; г) х² - 12x + 20; д) -у² + 16у – 15; e) -t² - 8t + 9; ж) 2x² - 5x + 3; 3) бу² + 2y - 3; и) -2п² + 5 + 7.

Решим по порядку каждый из пунктов.

a) Разложим квадратный трехчлен $$3x^2 - 24x + 21$$ на множители. Для этого сначала решим квадратное уравнение $$3x^2 - 24x + 21 = 0$$. Разделим обе части уравнения на 3: $$x^2 - 8x + 7 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$$. Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня. $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = 7$$, $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = 1$$. Тогда разложение на множители имеет вид $$3(x - 7)(x - 1)$$.

б) Разложим квадратный трехчлен $$5z^2 + 10z - 15$$ на множители. Решим квадратное уравнение $$5z^2 + 10z - 15 = 0$$. Разделим обе части уравнения на 5: $$z^2 + 2z - 3 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$. Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня. $$z_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$, $$z_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$. Тогда разложение на множители имеет вид $$5(z - 1)(z + 3)$$.

в) Разложим квадратный трехчлен $$x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$$ на множители. Решим квадратное уравнение $$x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$$. Так как $$D = 0$$, уравнение имеет один корень. $$x = \frac{-\frac{1}{2}}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{4}$$. Тогда разложение на множители имеет вид $$(x + \frac{1}{4})^2$$.

г) Разложим квадратный трехчлен $$x^2 - 12x + 20$$ на множители. Решим квадратное уравнение $$x^2 - 12x + 20 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64$$. Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня. $$x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 8}{2} = 10$$, $$x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 8}{2} = 2$$. Тогда разложение на множители имеет вид $$(x - 10)(x - 2)$$.

д) Разложим квадратный трехчлен $$-y^2 + 16y - 15$$ на множители. Решим квадратное уравнение $$-y^2 + 16y - 15 = 0$$. Умножим обе части уравнения на -1: $$y^2 - 16y + 15 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196$$. Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня. $$y_1 = \frac{-(-16) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 14}{2} = 15$$, $$y_2 = \frac{-(-16) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 14}{2} = 1$$. Тогда разложение на множители имеет вид $$-(y - 15)(y - 1)$$.

е) Разложим квадратный трехчлен $$-t^2 - 8t + 9$$ на множители. Решим квадратное уравнение $$-t^2 - 8t + 9 = 0$$. Умножим обе части уравнения на -1: $$t^2 + 8t - 9 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$. Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня. $$t_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = 1$$, $$t_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = -9$$. Тогда разложение на множители имеет вид $$-(t - 1)(t + 9)$$.

ж) Разложим квадратный трехчлен $$2x^2 - 5x + 3$$ на множители. Решим квадратное уравнение $$2x^2 - 5x + 3 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$$. Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня. $$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}$$, $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = 1$$. Тогда разложение на множители имеет вид $$2(x - \frac{3}{2})(x - 1) = (2x - 3)(x - 1)$$.

з) Разложим квадратный трехчлен $$5y^2 + 2y - 3$$ на множители. Решим квадратное уравнение $$5y^2 + 2y - 3 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$$. Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня. $$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{3}{5}$$, $$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 - 8}{10} = -1$$. Тогда разложение на множители имеет вид $$5(y - \frac{3}{5})(y + 1) = (5y - 3)(y + 1)$$.

и) Разложим квадратный трехчлен $$-2n^2 + 5n + 7$$ на множители. Решим квадратное уравнение $$-2n^2 + 5n + 7 = 0$$. Умножим обе части уравнения на -1: $$2n^2 - 5n - 7 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$$. Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня. $$n_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{7}{2}$$, $$n_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 9}{4} = -1$$. Тогда разложение на множители имеет вид $$-2(n - \frac{7}{2})(n + 1) = -(2n - 7)(n + 1)$$.

Ответ: a) $$3(x - 7)(x - 1)$$; б) $$5(z - 1)(z + 3)$$; в) $$(x + \frac{1}{4})^2$$; г) $$(x - 10)(x - 2)$$; д) $$-(y - 15)(y - 1)$$; е) $$-(t - 1)(t + 9)$$; ж) $$(2x - 3)(x - 1)$$; з) $$(5y - 3)(y + 1)$$; и) $$-(2n - 7)(n + 1)$$