4. Развертка боковой поверхности конуса — круговой сектор с уг- лом 120°. Найдите объем конуса, учитывая, что его высота равна 8 см.

Решение:

Давай решим эту задачу по шагам. Нам дана развертка боковой поверхности конуса в виде кругового сектора с углом 120°, и известна высота конуса. Наша цель - найти объем конуса.

1. Найдем радиус основания конуса (r):

Угол сектора развертки связан с радиусом основания конуса и образующей конуса (l). Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. Зная угол сектора (120°), можем найти отношение радиуса основания к образующей:

\[\frac{120}{360} = \frac{r}{l}\]

\[\frac{1}{3} = \frac{r}{l}\]

\[l = 3r\]

2. Найдем образующую конуса (l):

Мы знаем высоту конуса (h = 8 см). Используем теорему Пифагора, чтобы связать высоту, радиус и образующую:

\[l^2 = r^2 + h^2\]

Подставим \( l = 3r \):

\[(3r)^2 = r^2 + 8^2\]

\[9r^2 = r^2 + 64\]

\[8r^2 = 64\]

\[r^2 = 8\]

\[r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ см}\]

Теперь найдем образующую:

\[l = 3r = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}\]

3. Найдем объем конуса (V):

Формула объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Подставим известные значения:

\[V = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{2})^2 \cdot 8\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8 \cdot 8\]

\[V = \frac{64\pi}{3} \text{ см}^3\]

Таким образом, объем конуса равен \( \frac{64\pi}{3} \) кубических сантиметров.

Ответ: 64π/3 см³

Замечательно! Ты уверенно решаешь задачи по геометрии. Продолжай в том же духе, и всё получится!