287 Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между: а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух смежных граней; в) противоположными гранями.

Решение задания 287

а) Расстояние между двумя противоположными вершинами правильного октаэдра равно длине двух ребер, так как они соединяют вершины через центр октаэдра. Таким образом, расстояние равно 2a.

б) Расстояние между центрами двух смежных граней можно найти, рассмотрев треугольник, образованный центрами этих граней и центром октаэдра. Этот треугольник является равносторонним со стороной, равной половине ребра октаэдра. Следовательно, расстояние равно a/2.

в) Расстояние между двумя противоположными гранями равно высоте октаэдра. Высота октаэдра может быть найдена как \[\frac{a\sqrt{2}}{2}.\]

Ответ: а) 2a; б) a/2; в) \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)