8

Решение:

В треугольнике ABC BM — медиана, значит, M — середина стороны AC.

AC = 76, следовательно, \( AM = MC = \frac{76}{2} = 38 \).

BH — высота, значит, \( \angle BHC = 90^{\circ} \).

HC = 19.

Так как H лежит на AC, и M — середина AC, а HC = 19, то M находится между H и C.

HM = MC - HC = 38 - 19 = 19.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC.

Мы знаем \( HC = 19 \) и \( \angle C = 80^{\circ} \).

\( BH = HC \tan(\angle C) = 19 \tan(80^{\circ}) \).

\( BC = \frac{HC}{\cos(\angle C)} = \frac{19}{\cos(80^{\circ})} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHM.

\( BM^2 = BH^2 + HM^2 \)

\( BM^2 = (19 \tan(80^{\circ}))^2 + 19^2 \)

\( BM^2 = 19^2 (\tan^2(80^{\circ}) + 1) \)

Используя тригонометрическое тождество \( \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \):

\( BM^2 = 19^2 \frac{1}{\cos^2(80^{\circ})} \)

\( BM = \frac{19}{\cos(80^{\circ})} \).

Обратим внимание, что \( BM = BC \).

Это означает, что \( \triangle BCM \) равнобедренный.

В равнобедренном \( \triangle BCM \) углы при основании равны: \( \angle BCM = \angle BMC \).

\( \angle C = 80^{\circ} \), следовательно \( \angle BMC = 80^{\circ} \).

Угол AMB и угол BMC — смежные, их сумма равна 180°.

\( \angle AMB + \angle BMC = 180^{\circ} \)

\( \angle AMB + 80^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AMB = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).

Ответ: 100 градусов.