5. Решить неравенство √x−3 <x-5.

Решить неравенство $$\sqrt{x-3} < x - 5$$.

1) Область определения:

$$x - 3 ≥ 0$$

$$x ≥ 3$$

2) $$x - 5 > 0$$ (так как корень всегда неотрицателен, то правая часть должна быть больше нуля)

$$x > 5$$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$$x - 3 < (x - 5)^2$$

$$x - 3 < x^2 - 10x + 25$$

$$x^2 - 11x + 28 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2 - 11x + 28 = 0$$

$$D = 121 - 4 \cdot 28 = 121 - 112 = 9$$

$$x_1 = \frac{11 + 3}{2} = 7$$

$$x_2 = \frac{11 - 3}{2} = 4$$

Решением неравенства является $$x < 4$$ или $$x > 7$$.

Учитывая область определения $$x > 5$$, получаем $$x > 7$$.

Ответ: $$x > 7$$