3. Решить уравнение: 1) √x - 2 = 4; 2) √5-x = √√x−2; 3) √x+1=1-x; 4) √3x+1 - √x + 8 = 1.

1) $$\sqrt{x - 2} = 4$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x - 2 = 16$$

$$x = 18$$

Проверка:

$$\sqrt{18 - 2} = \sqrt{16} = 4$$

2) $$\sqrt{5-x} = \sqrt{x-2}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$5 - x = x - 2$$

$$2x = 7$$

$$x = \frac{7}{2} = 3,5$$

Проверка:

$$\sqrt{5 - 3,5} = \sqrt{1,5}$$

$$\sqrt{3,5 - 2} = \sqrt{1,5}$$

3) $$\sqrt{x+1} = 1 - x$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x + 1 = (1 - x)^2$$

$$x + 1 = 1 - 2x + x^2$$

$$x^2 - 3x = 0$$

$$x(x - 3) = 0$$

$$x_1 = 0, x_2 = 3$$

Проверка:

• $$x_1 = 0: \sqrt{0 + 1} = 1, 1 - 0 = 1$$
• $$x_2 = 3: \sqrt{3 + 1} = 2, 1 - 3 = -2$$

x = 3 - посторонний корень

4) $$\sqrt{3x+1} - \sqrt{x + 8} = 1$$

$$\sqrt{3x+1} = 1 + \sqrt{x + 8}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$3x + 1 = 1 + 2\sqrt{x + 8} + x + 8$$

$$2x - 8 = 2\sqrt{x + 8}$$

$$x - 4 = \sqrt{x + 8}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x^2 - 8x + 16 = x + 8$$

$$x^2 - 9x + 8 = 0$$

$$D = 81 - 32 = 49$$

$$x_1 = \frac{9 + 7}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{9 - 7}{2} = 1$$

Проверка:

• $$x_1 = 8: \sqrt{3 \cdot 8 + 1} - \sqrt{8 + 8} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$$
• $$x_2 = 1: \sqrt{3 \cdot 1 + 1} - \sqrt{1 + 8} = \sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 - 3 = -1$$

x = 1 - посторонний корень.

Ответ: 1) $$x = 18$$; 2) $$x = 3,5$$; 3) $$x = 0$$; 4) $$x = 8$$