3. Решить неравенство a) x²-15x+56 < 0; б) 3x²-6x+32 > 0.

3. Решить неравенство

a) x²-15x+56 < 0

Решим квадратное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2 - 15x + 56 = 0$$

$$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$$

$$x_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15+1}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15-1}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Теперь определяем знаки на интервалах:

$$\qquad + \qquad 7 \qquad - \qquad 8 \qquad +$$

Решением неравенства является интервал, где функция принимает отрицательные значения:

$$7 < x < 8$$

б) 3x²-6x+32 > 0

Решим квадратное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни квадратного уравнения:

$$3x^2 - 6x + 32 = 0$$

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 36 - 384 = -348$$

Так как дискриминант отрицательный, то корней у уравнения нет. Следовательно, функция всегда принимает один и тот же знак. Подставим x=0 в неравенство:

$$3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 32 = 32 > 0$$

Значит, неравенство выполняется для всех x.

Ответ: a) $$7 < x < 8$$, б) $$x \in R$$