8. Решить однородное уравнение второй степени: -3sin2x + cos2x + 2sinxcosx = 0.

Ответ: x = arctg(1) + πn = π/4 + πn и x = arctg(-1/3) + πn, n ∈ Z

Решение:

1. -3sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 0

2. Делим обе части уравнения на cos²x (предполагая, что cosx ≠ 0):

   -3(sin²x/cos²x) + 1 + 2(sinxcosx/cos²x) = 0

   -3tg²x + 1 + 2tgx = 0

   -3tg²x + 2tgx + 1 = 0

3. Умножим на -1:

   3tg²x - 2tgx - 1 = 0

4. Пусть tgx = t. Тогда уравнение примет вид:

   3t² - 2t - 1 = 0

5. Решаем квадратное уравнение: 3t² - 2t - 1 = 0

   D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16

   t₁ = (2 + √16) / (2 * 3) = (2 + 4) / 6 = 6 / 6 = 1

   t₂ = (2 - √16) / (2 * 3) = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3

6. Возвращаемся к замене: tgx = t

   tgx = 1 или tgx = -1/3

7. Решаем каждое уравнение:

   tgx = 1:

   x = arctg(1) + πn = π/4 + πn, n ∈ Z

   tgx = -1/3:

   x = arctg(-1/3) + πn, n ∈ Z

Ответ: x = arctg(1) + πn = π/4 + πn и x = arctg(-1/3) + πn, n ∈ Z