6. Решить уравнение, сводящееся к квадратному: 2cos2x + cosx – 3 = 0.

Ответ: x = π + 2πn, n ∈ Z

Решение:

1. Пусть cosx = t. Тогда уравнение примет вид: 2t² + t - 3 = 0

2. Решаем квадратное уравнение: 2t² + t - 3 = 0

   D = b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25

   t₁ = (-b + √D) / 2a = (-1 + √25) / (2 * 2) = (-1 + 5) / 4 = 4 / 4 = 1

   t₂ = (-b - √D) / 2a = (-1 - √25) / (2 * 2) = (-1 - 5) / 4 = -6 / 4 = -3/2

3. Возвращаемся к замене: cosx = t

   cosx = 1 или cosx = -3/2

   cosx = 1:

   x = 2πn, где n ∈ Z

   cosx = -3/2: Так как -1 ≤ cosx ≤ 1, то уравнение cosx = -3/2 не имеет решений.

Ответ: x = π + 2πn, n ∈ Z