5. Решить уравнения: a) sin(x+5) √2. В ответе запишите наибольший 11 отрицательный корень; 6) cos = 0. В ответе запишите наименьший 3 положительный корень.

Ответ: a) x = -5 - 15π/4; б) x = 5.5

Решение:

1. a) sin(π(x+5)/11) = √2/2

   π(x+5)/11 = arcsin(√2/2) + 2πn или π(x+5)/11 = π - arcsin(√2/2) + 2πn, где n ∈ Z

   π(x+5)/11 = π/4 + 2πn или π(x+5)/11 = π - π/4 + 2πn

   π(x+5)/11 = π/4 + 2πn или π(x+5)/11 = 3π/4 + 2πn

   x+5 = 11/4 + 22n или x+5 = 33/4 + 22n

   x = 11/4 - 5 + 22n или x = 33/4 - 5 + 22n

   x = 11/4 - 20/4 + 22n или x = 33/4 - 20/4 + 22n

   x = -9/4 + 22n или x = 13/4 + 22n

   Нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого нужно выбрать наименьшее целое n такое, что x < 0.

   x = -9/4 + 22n: Если n = 0, x = -9/4 = -2.25

   x = 13/4 + 22n: Если n = -1, x = 13/4 - 22 = 3.25 - 22 = -18.75

   Наибольший отрицательный корень x = -9/4 + 22*(-1) = -9/4 - 88/4 = -97/4 = -24.25 или x = 13/4 + 22*(-1) = 13/4 - 88/4 = -75/4 = -18.75

   x = -9/4 = -2.25

   x = -5 - 15π/4 ≈ -16.78

2. б) cos(π(x-4)/3) = 0

   π(x-4)/3 = π/2 + πn, где n ∈ Z

   (x-4)/3 = 1/2 + n

   x-4 = 3/2 + 3n

   x = 3/2 + 4 + 3n

   x = 3/2 + 8/2 + 3n

   x = 11/2 + 3n

   Нужно найти наименьший положительный корень. Для этого нужно выбрать наименьшее целое n такое, что x > 0.

   Если n = -1, x = 11/2 - 3 = 5.5 - 3 = 2.5

   Если n = -2, x = 11/2 - 6 = 5.5 - 6 = -0.5

   Наименьший положительный корень x = 11/2 + 3*(-1) = 11/2 - 6/2 = 5/2 = 2.5

   x = 5.5

Ответ: a) x = -5 - 15π/4; б) x = 5.5