5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса \begin{cases}2x₁ +2x₂ + x₃ = 11\\2x₁ + x₂-x₃ = 11\\3x₁ + 2x₂+x₃ = 15\end{cases}

5. Решим систему линейных уравнений методом Гаусса:

$$\begin{cases}2x_1 + 2x_2 + x_3 = 11\\2x_1 + x_2 - x_3 = 11\\3x_1 + 2x_2 + x_3 = 15\end{cases}$$

Запишем расширенную матрицу системы:

$$\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 & | & 11\\2 & 1 & -1 & | & 11\\3 & 2 & 1 & | & 15\end{pmatrix}$$

Вычтем первую строку из второй:

$$\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 & | & 11\\0 & -1 & -2 & | & 0\\3 & 2 & 1 & | & 15\end{pmatrix}$$

Умножим первую строку на 3/2 и вычтем из третьей строки:

$$\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 & | & 11\\0 & -1 & -2 & | & 0\\0 & -1 & -1/2 & | & 3/2\end{pmatrix}$$

Умножим вторую строку на -1 и вычтем из третьей строки:

$$\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 & | & 11\\0 & -1 & -2 & | & 0\\0 & 0 & 3/2 & | & 3/2\end{pmatrix}$$

Выразим переменные из последней матрицы:

Из третьей строки: (3/2)x₃ = 3/2 => x₃ = 1

Из второй строки: -x₂ - 2x₃ = 0 => -x₂ - 2 = 0 => x₂ = -2

Из первой строки: 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 11 => 2x₁ + 2(-2) + 1 = 11 => 2x₁ - 4 + 1 = 11 => 2x₁ = 14 => x₁ = 7

Ответ: x₁ = 7, x₂ = -2, x₃ = 1