2. Решить систему логарифмических уравнений: flog5 x + logs y = 1 + 2 log5 3 5logs(y-x) = logs 625

Ответ: x = 5, y = 45

1. Преобразуем первое уравнение: \[\log_5 x + \log_5 y = 1 + 2 \log_5 3\] \[\log_5 x + \log_5 y = \log_5 5 + \log_5 3^2\] \[\log_5 x + \log_5 y = \log_5 5 + \log_5 9\] \[\log_5 (xy) = \log_5 (5 \cdot 9)\] \[xy = 45\]
2. Преобразуем второе уравнение: \[5^{\log_5 (y-x)} = \log_5 625\] Тут ошибка в условии. Должно быть: \[5^{\log_5 (y-x)} = 625\] Тогда: \[y - x = \log_5 625\] \[y - x = \log_5 5^4\] \[y - x = 4\]
3. Выразим y через x: \[y = x + 4\]
4. Подставим это выражение в первое уравнение: \[x(x+4) = 45\] \[x^2 + 4x - 45 = 0\]
5. Решим квадратное уравнение:
   Показать пошаговые вычисления

   Дискриминант: \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196\] Корни: \[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{196}}{2} = \frac{-4 + 14}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-4 - \sqrt{196}}{2} = \frac{-4 - 14}{2} = -9\]
6. Найдем соответствующие значения y:
   • Если x = 5: \[y = 5 + 4 = 9\]
   • Если x = -9: \[y = -9 + 4 = -5\]
7. Проверим полученные решения. В первом уравнении xy = 45, так что оба решения подходят с этой точки зрения. Во втором уравнении у нас 5^log₅(y-x) = 625 или y-x = 4. Подставим значения:
   • Для x = 5 и y = 9: 9 - 5 = 4 – верно.
   • Для x = -9 и y = -5: -5 - (-9) = 4 – верно.
8. Однако, в логарифмах аргументы должны быть положительными. То есть, x > 0 и y > 0. Следовательно, второй набор решений (x = -9, y = -5) не подходит.

Ответ: x = 5, y = 9