2. Решить систему логарифмических уравнений: (log3x + log3y = 1 + log3 2 log25(x + y) = 0,5

Ответ: x = 3, y = 2

1. Преобразуем первое уравнение системы: \[\log_3 x + \log_3 y = 1 + \log_3 2\] \[\log_3 (xy) = \log_3 3 + \log_3 2\] \[\log_3 (xy) = \log_3 (3 \cdot 2)\] \[xy = 6\]
2. Преобразуем второе уравнение системы: \[\log_{25} (x+y) = 0.5\] \[x + y = 25^{0.5}\] \[x + y = \sqrt{25}\] \[x + y = 5\]
3. Выразим y из второго уравнения: \[y = 5 - x\]
4. Подставим это выражение в первое уравнение: \[x(5 - x) = 6\] \[5x - x^2 = 6\] \[x^2 - 5x + 6 = 0\]
5. Решим квадратное уравнение относительно x:
   Показать пошаговые вычисления

   Дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\] Корни: \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2\]
6. Найдем соответствующие значения y:
   • Если x = 3: \[y = 5 - 3 = 2\]
   • Если x = 2: \[y = 5 - 2 = 3\]
7. Проверим найденные решения:
   • Для x = 3, y = 2: \[\log_3 3 + \log_3 2 = 1 + \log_3 2 \Rightarrow 1 + \log_3 2 = 1 + \log_3 2\] \[\log_{25} (3+2) = \log_{25} 5 = \log_{25} 25^{0.5} = 0.5\] Оба уравнения выполняются.
   • Для x = 2, y = 3: \[\log_3 2 + \log_3 3 = 1 + \log_3 2 \Rightarrow \log_3 2 + 1 = 1 + \log_3 2\] \[\log_{25} (2+3) = \log_{25} 5 = \log_{25} 25^{0.5} = 0.5\] Оба уравнения выполняются.

Ответ: x = 3, y = 2