Решить уравнение cos²5x + 7 sin²5x = 4 sin 10x.

Используем тождества cos²5x = (1 + cos 10x)/2, sin²5x = (1 − cos 10x)/2.

1. Подставим их в уравнение: (1 + cos 10x)/2 + 7(1 − cos 10x)/2 = 4 sin 10x.
2. Упростим: 4 − 3 cos 10x = 4 sin 10x, то есть 3 cos 10x + 4 sin 10x = 4.
3. Поскольку 3 cos t + 4 sin t ≤ 5, равенство можно переписать как 5 sin(10x + α) = 4, где cos α = 4/5, sin α = 3/5.
4. Тогда sin(10x + α) = 4/5. Общее решение записывается так: 10x + α = arcsin(4/5) + 2πk либо 10x + α = π − arcsin(4/5) + 2πk, где k ∈ ℤ.

Ответ: x = (arcsin(4/5) − α + 2πk)/10 или x = (π − arcsin(4/5) − α + 2πk)/10, где α = arctan(3/4), k ∈ ℤ.