7. Решить уравнение log 8 x + log √₂ x = 14.

Решим уравнение $$log_8 x + log_{\sqrt{2}} x = 14$$.

Преобразуем уравнение, используя формулу перехода к новому основанию:

$$\frac{log_2 x}{log_2 8} + \frac{log_2 x}{log_2 \sqrt{2}} = 14$$

$$\frac{log_2 x}{3} + \frac{log_2 x}{\frac{1}{2}} = 14$$

$$\frac{1}{3}log_2 x + 2log_2 x = 14$$

$$\frac{7}{3}log_2 x = 14$$

$$log_2 x = 14 \cdot \frac{3}{7}$$

$$log_2 x = 6$$

$$x = 2^6$$

$$x = 64$$

Проверка: $$log_8 64 + log_{\sqrt{2}} 64 = log_8 8^2 + log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^{12} = 2 + 12 = 14$$.

Ответ: 64