2. Решить уравнения: * (2\sin^2 x + 3\sin x \cos x - 5\cos^2 x = 0) * (\sin(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}) * (\cos(2x - \frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{2})

Решим каждое уравнение по отдельности. * (2\sin^2 x + 3\sin x \cos x - 5\cos^2 x = 0) Разделим обе части уравнения на (\cos^2 x) (предполагая, что (\cos x
eq 0)): (2\operatorname{tg}^2 x + 3\operatorname{tg} x - 5 = 0) Пусть (\operatorname{tg} x = t), тогда уравнение принимает вид: (2t^2 + 3t - 5 = 0) Решим это квадратное уравнение: (D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49) (t_1 = \frac{-3 + 7}{4} = 1) (t_2 = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{5}{2}) Теперь найдем x: 1) (\operatorname{tg} x = 1), следовательно, (x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}) 2) (\operatorname{tg} x = -\frac{5}{2}), следовательно, (x = \operatorname{arctg}(-\frac{5}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}) Если (\cos x = 0), то (\sin x = \pm 1). Подставим в исходное уравнение: (2(\pm 1)^2 + 3(\pm 1) \cdot 0 - 5 \cdot 0^2 = 2
eq 0). Значит (\cos x
eq 0) и деление на (\cos^2 x) было корректным. * (\sin(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}) (\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k) или (\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}) 1) (\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k), следовательно, (x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}) 2) (\frac{1}{2}x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \pi + 2\pi k), следовательно, (x = 2\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}) * (\cos(2x - \frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}) (2x - \frac{3\pi}{4} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}) 1) (2x = \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi k = \frac{9\pi + 10\pi}{12} + 2\pi k = \frac{19\pi}{12} + 2\pi k), следовательно, (x = \frac{19\pi}{24} + \pi k, k \in \mathbb{Z}) 2) (2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi k = \frac{9\pi - 10\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k), следовательно, (x = -\frac{\pi}{24} + \pi k, k \in \mathbb{Z})