Решить уравнения: 1) $\sqrt{x}-x=-12$; 2) $x+\sqrt{x}=2(x-1)$; 3) $\sqrt{x-1}=x-3$; 4) $\sqrt{6+x-x^2}=1-x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решить уравнения: 1) $\sqrt{x}-x=-12$; 2) $x+\sqrt{x}=2(x-1)$; 3) $\sqrt{x-1}=x-3$; 4) $\sqrt{6+x-x^2}=1-x$.$ Фото задания

Accepted Answer

Пусть $t=\sqrt{x}$, где $t\geq0$. Тогда $t-t^2=-12$, или $t^2-t-12=0$. Получаем $t=4$ или $t=-3$; подходит только $t=4$, значит $x=16$.
Пусть $t=\sqrt{x}$, где $t\geq0$. Тогда $t^2+t=2t^2-2$, то есть $(t-2)(t+1)=0$. Подходит $t=2$, значит $x=4$.
Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому $x\geq3$. Возводим в квадрат: $x-1=(x-3)^2$, откуда $(x-5)(x-2)=0$. Условию подходит только $x=5$.
Правая часть неотрицательна, значит $x\leq1$. Возводим в квадрат: $6+x-x^2=(1-x)^2$, откуда $2x^2-3x-5=0$. Корни: $x=\frac52$ и $x=-1$; условию и исходному уравнению подходит только −1.

Ответ: 1) 16; 2) 4; 3) 5; 4) −1.

Решить уравнения: 1) \(\sqrt{x}-x=-12\); 2) \(x+\sqrt{x}=2(x-1)\); 3) \(\sqrt{x-1}=x-3\); 4) \(\sqrt{6+x-x^2}=1-x\).