Решить уравнения: а) 54-x =25; б) log7(x + 21) = 2; г) 2sin2x + 5 sin x - 3 = 0. В) \(\sqrt{x^2 - 8x - 4} = 4\)

Решение:

а) 5^4-x = 25

1. Представим 25 как 5²: \( 5^{4-x} = 5^2 \)
2. Приравниваем показатели степеней: \( 4 - x = 2 \)
3. Находим \( x \): \( x = 4 - 2 = 2 \)

б) log₇(x + 21) = 2

1. По определению логарифма: \( x + 21 = 7^2 \)
2. Вычисляем: \( x + 21 = 49 \)
3. Находим \( x \): \( x = 49 - 21 = 28 \)

г) 2sin²x + 5sin x - 3 = 0

1. Сделаем замену \( y = sin x \). Получим квадратное уравнение: \( 2y^2 + 5y - 3 = 0 \)
2. Найдём дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \)
3. Найдём корни \( y \): \( y_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \)
4. \( y_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \)
5. Вернёмся к замене: \( sin x = 0.5 \) или \( sin x = -3 \).
6. Уравнение \( sin x = -3 \) не имеет решений, так как \( -1 \le sin x \le 1 \).
7. Решаем \( sin x = 0.5 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in Z \).

в) \(\sqrt{x^2 - 8x - 4} = 4\)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x^2 - 8x - 4 = 4^2 \)
2. \( x^2 - 8x - 4 = 16 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 - 8x - 20 = 0 \)
4. Найдём дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 \)
5. Найдём корни \( x \): \( x_1 = \frac{8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = 10 \)
6. \( x_2 = \frac{8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{8 - 12}{2} = -2 \)
7. Проверим корни. Для \( x=10 \): \(\sqrt{10^2 - 8\cdot 10 - 4} = \sqrt{100 - 80 - 4} = \sqrt{16} = 4 \). Верно.
8. Для \( x=-2 \): \(\sqrt{(-2)^2 - 8\cdot (-2) - 4} = \sqrt{4 + 16 - 4} = \sqrt{16} = 4 \). Верно.

Ответ: а) x = 2; б) x = 28; г) x = \(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\), x = \(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\), где \( n \in Z \); в) x₁ = 10, x₂ = -2.