Ученику предложили написать на доске любое натуральное число от 100 до 200. Найдите вероятность того, что среди цифр этого числа есть 3.

Решение:

Всего натуральных чисел от 100 до 200 включительно: \( 200 - 100 + 1 = 101 \) число.

Рассмотрим числа, у которых нет цифры 3:

• Числа вида \( 1xy \), где \( x \) и \( y \) — цифры, отличные от 3.
• Первая цифра — 1 (она не 3).
• Вторая цифра \( x \) может быть любой, кроме 3. Так как число от 100 до 200, \( x \) может быть от 0 до 9. Исключаем 3. Остается 9 вариантов (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
• Третья цифра \( y \) может быть любой, кроме 3. Остается 9 вариантов (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
• Всего чисел без цифры 3: \( 1 \) (цифра 1) \(\times 9 \) (варианты для \( x \)) \(\times 9 \) (варианты для \( y \)) = 81 число.
• Однако, мы должны исключить число 130-139.
• Рассмотрим числа, которые содержат цифру 3.
• Числа от 100 до 199:
• Цифра 3 на месте десятков: 130, 131, ..., 139 (10 чисел).
• Цифра 3 на месте единиц: 103, 113, 123, 143, 153, 163, 173, 183, 193 (9 чисел).
• Число 133 учтено дважды.
• Всего чисел с цифрой 3: \( 10 + 9 - 1 = 18 \) чисел.
• Но это только от 100 до 199.
• Число 200 не содержит цифру 3.
• Давайте посчитаем числа, в которых НЕТ цифры 3.
• 100-199:
• 100-109: 100, 101, 102, 104, 105, 106, 107, 108, 109 (9 чисел)
• 110-119: 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119 (9 чисел)
• 120-129: 120, 121, 122, 124, 125, 126, 127, 128, 129 (9 чисел)
• 130-139: Здесь все числа содержат 3.
• 140-149: 140, 141, 142, 144, 145, 146, 147, 148, 149 (9 чисел)
• 150-159: 9 чисел
• 160-169: 9 чисел
• 170-179: 9 чисел
• 180-189: 9 чисел
• 190-199: 9 чисел
• Всего в диапазоне 100-199 без цифры 3: \( 9 \times 9 = 81 \) число.
• Число 200 не содержит цифру 3.
• Итак, чисел без цифры 3 от 100 до 200: \( 81 + 1 = 82 \).
• Чисел, содержащих цифру 3: \( 101 - 82 = 19 \) чисел.

Вероятность = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов)

Вероятность = \( \frac{19}{101} \)

Ответ: \(\frac{19}{101}\)