Вычислить интеграл \(\int_0^1 (5x^4 - 8x^3) dx\)

Решение:

Воспользуемся свойством линейности интеграла и правилом интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

\(\int_0^1 (5x^4 - 8x^3) dx = \left[ 5\frac{x^{4+1}}{4+1} - 8\frac{x^{3+1}}{3+1} \right]_0^1 = \left[ 5\frac{x^5}{5} - 8\frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \left[ x^5 - 2x^4 \right]_0^1 \)

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\( (1^5 - 2 \cdot 1^4) - (0^5 - 2 \cdot 0^4) = (1 - 2) - (0 - 0) = -1 - 0 = -1 \)

Ответ: -1