4. Решите дробное рациональное уравнение: 8+x+7/x-2=36/x²-4;

4. Решите дробное рациональное уравнение: $$8 + \frac{x+7}{x-2} = \frac{36}{x^2-4}$$

Преобразуем уравнение, учитывая, что $$x^2-4 = (x-2)(x+2)$$:

$$8 + \frac{x+7}{x-2} = \frac{36}{(x-2)(x+2)}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{8(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{(x+7)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{36}{(x-2)(x+2)}$$

$$8(x^2-4) + (x^2+2x+7x+14) = 36$$

$$8x^2-32 + x^2+9x+14 = 36$$

$$9x^2+9x-18 = 36$$

$$9x^2+9x-54 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 9:

$$x^2+x-6 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Проверим корни на посторонние решения. x = 2 не является решением, так как в знаменателе будет ноль.

Ответ: x = -3