Решите графически систему уравнений \begin{cases} y = x^2 + 2x, \\ y-x = 2. \end{cases}

Вариант 2. Задание 4

Давай решим графически систему уравнений:

\begin{cases} y = x^2 + 2x, \\ y - x = 2. \end{cases}

Выразим y из второго уравнения:

\[y = x + 2\]

Теперь приравняем выражения для y:

\[x^2 + 2x = x + 2\]

\[x^2 + x - 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно x. Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Найдем соответствующие значения y:

Если x₁ = 1, то y₁ = 1 + 2 = 3.

Если x₂ = -2, то y₂ = -2 + 2 = 0.

Таким образом, решения системы:

\begin{cases} x_1 = 1, \\ y_1 = 3. \end{cases} или \begin{cases} x_2 = -2, \\ y_2 = 0. \end{cases}

Для графического решения нужно построить параболу y = x² + 2x и прямую y = x + 2 и найти точки их пересечения. Мы уже нашли эти точки аналитически: (1, 3) и (-2, 0).

Ответ: (1; 3) и (-2; 0)