5. Решите квадратное неравенство 2х2 – 3х + 1 ≤ 0.

Решение:

Дано: 2x² – 3x + 1 ≤ 0

Решаем квадратное уравнение 2x² – 3x + 1 = 0

Шаг 1: Находим дискриминант (D)

\(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1\)

Шаг 2: Находим корни уравнения

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Корни уравнения: x₁ = 1, x₂ = 1/2

Шаг 3: Определяем интервалы

Так как коэффициент при x² положительный (a = 2 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство 2x² – 3x + 1 ≤ 0 выполняется между корнями.

Значит, решение неравенства: \( \frac{1}{2} \le x \le 1 \)

Ответ: \[ x \in \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] \]