8. Решите систему неравенств x² - 3x-10 ≥ 0, x² + 4x -12 < 0.

Решение:

Дано: система неравенств

\[\begin{cases}x^2 - 3x - 10 \ge 0 \\ x^2 + 4x - 12 < 0\end{cases}\]

Решаем первое неравенство: x² - 3x - 10 ≥ 0

Решаем квадратное уравнение x² - 3x - 10 = 0

\(D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49\)

\(x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

\(x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

Решение неравенства x² - 3x - 10 ≥ 0: x ∈ (-∞, -2] ∪ [5, +∞)

Решаем второе неравенство: x² + 4x - 12 < 0

Решаем квадратное уравнение x² + 4x - 12 = 0

\(D = 4^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64\)

\(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

\(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6\)

Решение неравенства x² + 4x - 12 < 0: x ∈ (-6, 2)

Находим пересечение решений:

Первое неравенство:  (-inf, -2] -------- [5, +inf)
Второе неравенство:  (-6, 2) ------------------
Пересечение:          (-6, -2]

Ответ: x ∈ (-6, -2]