4. Решите неравенства с помощью графика квадратичной функции: a) 2x²− 5x− 3 ≥ 0; б) х² + 6x + 12> 0; в) х² – 16≤ 0.

4. Решите неравенства с помощью графика квадратичной функции:

а) $$2x^2 - 5x - 3 \ge 0$$;

Решим квадратное уравнение $$2x^2 - 5x - 3 = 0$$ для нахождения корней.

Вычислим дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$

Найдем корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

$$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства является множество значений x, где парабола находится выше или на оси x.

                    +
                                       / \
                              /          \
                             /             \
 --------------------(-1/2)------------------(3)-----------------------
                              \             /
                               \          /
                                  \       /
                                     +

Ответ: $$x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [3; +\infty)$$.

б) $$x^2 + 6x + 12 > 0$$;

Решим квадратное уравнение $$x^2 + 6x + 12 = 0$$ для нахождения корней.

Вычислим дискриминант:

$$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12$$

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось x. Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх, и вся парабола находится выше оси x. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $$x \in (-\infty; +\infty)$$.

в) $$x^2 - 16 \le 0$$.

Решим квадратное уравнение $$x^2 - 16 = 0$$ для нахождения корней.

$$x^2 = 16$$

$$x = \pm \sqrt{16}$$

$$x_1 = 4$$

$$x_2 = -4$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства является множество значений x, где парабола находится ниже или на оси x.

                   +
                               / \
                              /   \
                             /     \
-------------------(-4)----------------(4)------------------------
                              \     /
                               \   /
                                  \ /
                                     +

Ответ: $$x \in [-4; 4]$$.