3. Решите неравенство методом интервалов: a) (x-14)(x+3)(x−8) ≤ 0; б) x+3/x-7> 0.

3. Решите неравенство методом интервалов:

а) $$(x-14)(x+3)(x-8) \le 0$$;

Найдем нули функции, приравняв каждый множитель к нулю:

$$x - 14 = 0$$ $$x = 14$$

$$x + 3 = 0$$ $$x = -3$$

$$x - 8 = 0$$ $$x = 8$$

Нанесем найденные нули на числовую прямую и определим знаки функции на каждом из интервалов:

+                                         +
------------------(-3)------------------(8)--------------------(14)------------------
                                      x
-                                          -

Выбираем интервалы, где функция меньше или равна нулю.

Ответ: $$x \in (-\infty; -3] \cup [8; 14]$$.

б) $$\frac{x+3}{x-7} > 0$$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$x + 3 = 0$$ $$x = -3$$

$$x - 7 = 0$$ $$x = 7$$

Нанесем найденные нули на числовую прямую (знаменатель - выколотая точка) и определим знаки функции на каждом из интервалов:

+                                          +
------------------(-3)------------------(7)--------------------
                                      x
-                                          -

Выбираем интервалы, где функция больше нуля.

Ответ: $$x \in (-\infty; -3) \cup (7; +\infty)$$.