4. Решите неравенства: a) log₃ (2x−7) ≤2; б) log½ (9−x) + log½ (x−3) ≥−3 / 2

Решим каждое неравенство по порядку. a) log₃(2x - 7) ≤ 2 Представим 2 как логарифм по основанию 3: \[ log_3(2x - 7) ≤ log_3(3^2) \] \[ log_3(2x - 7) ≤ log_3(9) \] Так как основание логарифма больше 1, функция возрастает. Поэтому: \[ 2x - 7 ≤ 9 \] \[ 2x ≤ 16 \] \[ x ≤ 8 \] Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 2x - 7 > 0 \] \[ 2x > 7 \] \[ x > \frac{7}{2} = 3.5 \] Таким образом, решение: \[ 3.5 < x ≤ 8 \] б) log₀.₅(9 - x) + log₀.₅(x - 3) ≥ -3 Используем свойства логарифмов: \[ log_{0.5}((9 - x)(x - 3)) ≥ log_{0.5}((0.5)^{-3}) \] \[ log_{0.5}((9 - x)(x - 3)) ≥ log_{0.5}(8) \] Так как основание логарифма меньше 1, функция убывает. Поэтому знак неравенства меняется: \[ (9 - x)(x - 3) ≤ 8 \] \[ -x^2 + 12x - 27 ≤ 8 \] \[ -x^2 + 12x - 35 ≤ 0 \] \[ x^2 - 12x + 35 ≥ 0 \] Решим квадратное уравнение x² - 12x + 35 = 0: \[ (x - 5)(x - 7) = 0 \] Корни: x = 5 и x = 7. Теперь определим интервалы, где неравенство x² - 12x + 35 ≥ 0 выполняется: x ≤ 5 или x ≥ 7. Также нужно учесть ограничения на аргументы логарифмов: \[ 9 - x > 0 \Rightarrow x < 9 \] \[ x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \] Таким образом, решение неравенства: \[ 3 < x < 9 \] Объединим все условия: x ≤ 5 или x ≥ 7, и 3 < x < 9. Получаем: \[ 3 < x ≤ 5 \] или \[ 7 ≤ x < 9 \]

Ответ: 3.5 < x ≤ 8; 3 < x ≤ 5 или 7 ≤ x < 9