3. Решите уравнения: а) log ₄ (3x+1)=1; б) log ₃(x+4)+log ₃ (x−4)=1+log ₃ (3x−2).

Решим уравнения по порядку. а) log₄(3x + 1) = 1 Используем определение логарифма: если logₐ b = c, то aᶜ = b. В нашем случае: \[ 4^1 = 3x + 1 \] Решаем уравнение: \[ 4 = 3x + 1 \] \[ 3x = 4 - 1 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \] Проверим, что 3x + 1 > 0: \[ 3(1) + 1 = 4 > 0 \] б) log₃(x + 4) + log₃(x - 4) = 1 + log₃(3x - 2) Используем свойства логарифмов: \[ log_3((x + 4)(x - 4)) = log_3 3 + log_3(3x - 2) \] \[ log_3(x^2 - 16) = log_3(3(3x - 2)) \] Теперь, так как у нас логарифмы с одинаковым основанием, можем приравнять аргументы: \[ x^2 - 16 = 3(3x - 2) \] \[ x^2 - 16 = 9x - 6 \] \[ x^2 - 9x - 10 = 0 \] Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = 9 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -10 \] Подходят корни x₁ = 10 и x₂ = -1. Проверим каждый корень: Для x = 10: \[ log_3(10 + 4) + log_3(10 - 4) = log_3(14) + log_3(6) \] \[ 1 + log_3(3(10) - 2) = 1 + log_3(28) \] \[ log_3(14 \cdot 6) = log_3(84) \] \[ log_3(3 \cdot 28) = log_3(84) \] Этот корень подходит. Для x = -1: \[ log_3(-1 + 4) + log_3(-1 - 4) \] Так как log₃(-5) не существует (аргумент должен быть положительным), x = -1 не является решением.

Ответ: x = 1; x = 10