1. Вычислите: log₀,₅ 1024; lg 0,0001; 3⁶log₂₇11+2; log₇ 72−2log₇6 / log₇4 log₅9 / log₅6 + log₁₁4 / log₁₁6 (5log₁₁3)log₅11; 4log₁₆243⋅log₉ 1/128

Привет! Сейчас помогу тебе разобраться с этими логарифмами. Будем решать по порядку. 1) log₀,₅ 1024 Давай представим 0,5 как 1/2 и 1024 как 2¹⁰. Тогда получим: \[ log_{1/2} 2^{10} = log_{2^{-1}} 2^{10} \] Теперь воспользуемся свойством логарифмов: logₐᵇ cⁿ = (n/b) logₐ c \[ \frac{10}{-1} log_2 2 = -10 \cdot 1 = -10 \] 2) lg 0,0001 Здесь lg - это десятичный логарифм. Представим 0,0001 как 10⁻⁴: \[ lg \space 0.0001 = lg \space 10^{-4} = -4 \cdot lg \space 10 = -4 \cdot 1 = -4 \] 3) 3⁶log₂₇(11+2) Сначала упростим 11 + 2 = 13: \[ 3^{6log_{27} 13} \] Теперь представим 27 как 3³: \[ 3^{6log_{3^3} 13} \] Используем свойство логарифмов: \[ 3^{\frac{6}{3} log_3 13} = 3^{2log_3 13} = 3^{log_3 13^2} = 13^2 = 169 \] 4) (log₇72 - 2log₇6) / log₇4 Преобразуем числитель: \[ log_7 72 - 2log_7 6 = log_7 72 - log_7 6^2 = log_7 72 - log_7 36 = log_7 \frac{72}{36} = log_7 2 \] Тогда все выражение: \[ \frac{log_7 2}{log_7 4} = \frac{log_7 2}{log_7 2^2} = \frac{log_7 2}{2log_7 2} = \frac{1}{2} \] 5) log₅9 / log₅6 + log₁₁4 / log₁₁6 Используем формулу перехода к новому основанию: \[ \frac{log_5 9}{log_5 6} + \frac{log_{11} 4}{log_{11} 6} = log_6 9 + log_6 4 = log_6 (9 \cdot 4) = log_6 36 = log_6 6^2 = 2 \] 6) (5log₁₁3)log₅11 Сначала разберемся с основанием степени: \[ 5^{log_{11} 3} \] Теперь возведем это в степень log₅11: \[ (5^{log_{11} 3})^{log_5 11} = 5^{log_{11} 3 \cdot log_5 11} \] Используем формулу перехода к новому основанию, чтобы упростить показатель степени: \[ log_{11} 3 \cdot log_5 11 = \frac{log_5 3}{log_5 11} \cdot log_5 11 = log_5 3 \] Подставляем обратно: \[ 5^{log_5 3} = 3 \] 7) 4log₁₆243 \cdot log₉(1/128) Преобразуем: \[ 4log_{16} 243 \cdot log_9 \frac{1}{128} = 4log_{2^4} 3^5 \cdot log_{3^2} 2^{-7} \] Используем свойства логарифмов: \[ 4 \cdot \frac{5}{4} log_2 3 \cdot \frac{-7}{2} log_3 2 = 5 log_2 3 \cdot \frac{-7}{2} log_3 2 = \frac{-35}{2} log_2 3 \cdot log_3 2 = \frac{-35}{2} \cdot 1 = -\frac{35}{2} = -17.5 \]

Ответ: -10; -4; 169; 1/2; 2; 3; -17.5