5. Решите уравнение: log₉ x+log√₃ x=−10

Решим уравнение log₉ x + log√₃ x = -10. Сначала преобразуем логарифмы к одному основанию. Удобно привести к основанию 3: \[ log_9 x = \frac{log_3 x}{log_3 9} = \frac{log_3 x}{2} \] \[ log_{\sqrt{3}} x = \frac{log_3 x}{log_3 \sqrt{3}} = \frac{log_3 x}{\frac{1}{2}} = 2log_3 x \] Подставим в исходное уравнение: \[ \frac{1}{2}log_3 x + 2log_3 x = -10 \] \[ \frac{5}{2}log_3 x = -10 \] \[ log_3 x = -10 \cdot \frac{2}{5} \] \[ log_3 x = -4 \] Теперь найдем x, используя определение логарифма: \[ x = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} \] Проверим, что x > 0: \[ \frac{1}{81} > 0 \]

Ответ: x = 1/81