Решите неравенство \[\frac{14}{x^2+5x-14} \le 0.\]

Ответ: \[ x \in (-\infty; -7) \cup (2; +\infty) \]

1. Находим корни знаменателя: \[x^2 + 5x - 14 = 0\] \[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\] \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7\]
2. Определяем интервалы: Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому точки -7 и 2 исключаем.

           +        -        +
       ----(-7)----(2)----
       

   Интервалы: \[(-\infty; -7)\, (-7; 2)\, (2; +\infty)\]
3. Определяем знаки на интервалах: Подставляем значения из каждого интервала в знаменатель.
   • \[x = -8 \in (-\infty; -7):\] \[(-8)^2 + 5(-8) - 14 = 64 - 40 - 14 = 10 > 0\] (знак +)
   • \[x = 0 \in (-7; 2):\] \[0^2 + 5(0) - 14 = -14 < 0\] (знак -)
   • \[x = 3 \in (2; +\infty):\] \[3^2 + 5(3) - 14 = 9 + 15 - 14 = 10 > 0\] (знак +)
4. Определяем знак всего выражения: Числитель положительный (14 > 0), поэтому знак всего выражения определяется знаком знаменателя. Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю, то есть отрицательным или равным нулю. Т.к. числитель всегда 14, то он не может быть равен нулю. Следовательно, ищем интервалы, где знаменатель меньше нуля. Т.к. знак неравенства нестрогий, точки не входят в решение. Но, нужно исключить точки, где знаменатель равен нулю.
5. Записываем решение: \[x \in (-\infty; -7) \cup (2; +\infty)\]

Ответ: \[ x \in (-\infty; -7) \cup (2; +\infty) \]