6. Решите неравенство: √x+8>x+2.

√x + 8 > x + 2

ОДЗ: x + 8 ≥ 0, x ≥ -8

Рассмотрим два случая:

1) x + 2 < 0, x < -2

В этом случае неравенство выполняется, т.к. √x + 8 всегда ≥ 0.

Решения: -8 ≤ x < -2

2) x + 2 ≥ 0, x ≥ -2

Возведем обе части в квадрат:

x + 8 > (x + 2)²

x + 8 > x² + 4x + 4

x² + 3x - 4 < 0

Найдем корни квадратного уравнения:

x² + 3x - 4 = 0

D = 3² - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25

x₁ = (-3 + √25) / 2 = (-3 + 5) / 2 = 1

x₂ = (-3 - √25) / 2 = (-3 - 5) / 2 = -4

Решения: -4 < x < 1

Учитывая, что x ≥ -2, получаем: -2 ≤ x < 1

Объединим решения обоих случаев: -8 ≤ x < 1

Ответ: -8 ≤ x < 1