10. Решите неравенство \frac{5}{25^{\sin 2x-1}} - \frac{3}{10^{\sin 2x-1}} ≤ \frac{2}{4^{\sin 2x-1}}.

Решим неравенство $$\frac{5}{25^{\sin 2x-1}} - \frac{3}{10^{\sin 2x-1}} \le \frac{2}{4^{\sin 2x-1}}$$.

Запишем неравенство в виде:

$$5 \cdot (5^2)^{1-\sin 2x} - 3 \cdot (2 \cdot 5)^{1-\sin 2x} - 2 \cdot (2^2)^{1-\sin 2x} \le 0$$.

$$5 \cdot 5^{2(1-\sin 2x)} - 3 \cdot 2^{1-\sin 2x} \cdot 5^{1-\sin 2x} - 2 \cdot 2^{2(1-\sin 2x)} \le 0$$.

Разделим обе части неравенства на $$5^{2(1-\sin 2x)}$$:

$$5 - 3 \cdot (\frac{2}{5})^{1-\sin 2x} - 2 \cdot (\frac{2}{5})^{2(1-\sin 2x)} \le 0$$.

Пусть $$t = (\frac{2}{5})^{1-\sin 2x}$$. Тогда получим квадратное неравенство:

$$5 - 3t - 2t^2 \le 0$$.

$$2t^2 + 3t - 5 \ge 0$$.

Решим квадратное уравнение $$2t^2 + 3t - 5 = 0$$:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$$.

$$t_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$.

$$t_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$$.

Тогда неравенство можно записать в виде:

$$2(t - 1)(t + 2.5) \ge 0$$.

$$t \le -2.5$$ или $$t \ge 1$$.

Вернемся к замене:

$$({\frac{2}{5}})^{1-\sin 2x} \le -2.5$$ или $$({\frac{2}{5}})^{1-\sin 2x} \ge 1$$.

Поскольку $$(\frac{2}{5})^{1-\sin 2x} > 0$$, первое неравенство не имеет решений.

Решим второе неравенство: $$({\frac{2}{5}})^{1-\sin 2x} \ge 1$$.

Поскольку $$(\frac{2}{5}) < 1$$, то $$1 - \sin 2x \le 0$$.

$$\sin 2x \ge 1$$.

$$\sin 2x = 1$$.

$$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$.

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$.